大規模数理学講座
准教授 縄田 紀夫 Nawata Norio
1984年に山口県で生まれ、佐賀県鳥栖市で育つ。九州大学理学部数学科に入学、九州大学大学院数理学府に進学し、2011年に博士号を取得。九州大学マス・フォア・インダストリ研究所でGCOE海外派遣研究員、千葉大学で学振PD、大阪教育大学で講師を務めた後、2020年に大阪大学大学院情報科学研究科に着任。専門は作用素環論、特にC
1. 研究分野について
私の専門分野は作用素環論です。大雑把に言うと、作用素環とは
Hilbert空間上の作用素論、群のユニタリ表現論、量子力学の数学的定式化、(有限基底を持たないような)抽象代数学の理論などへの応用を念頭にMurrayとvon Neumannによって1930年ごろから創始された(数学としては比較的に新しい)分野ですが、作用素環自体も魅力的な数学的対象であることがわかり、活発に研究されています。作用素環論のキーワードは「非可換」と「無限次元」です。
近似や完備性等の解析的な議論が証明の根幹にあることから、作用素環論は解析学に分類されています。ただし、現在では、代数学、幾何学、確率論を含む様々な分野の数学や物理学と関連して発展しています。以下ではもう少し詳しく作用素環論について解説したいと思います。
<作用素環>
作用素環は
この2種類の作用素環の違いを簡単に表にまとめると、以下のようになります。
環の種類 | 閉じた位相 | 可換な例 | 特徴M/th> |
---|---|---|---|
von Neumann環 | 弱作用素位相 | |
関数解析の手法(スペクトル分解など)が自由に使える |
C |
作用素ノルム位相 | |
関数解析の手法(スペクトル分解など)を使う時に注意を要する |
もちろん、作用素ノルム位相は弱作用素位相よりも強いので、von Neumann環はC
C
と言われることも多いです。
このスローガンが研究の本質をついているわけではないのですが、von Neumann環とC
ちなみに、有限次元の作用素環は行列環の直和
に同型になります。(有限次元の場合は上で述べた位相は同値になるので、C
無限次元で考えると、こういった環や関数のなす環と本質的に違う性質を持った興味深い作用素環がたくさん存在することがわかっています。
一例を挙げると、II
「連続次元」とも言うべき性質を持っています。トレイス状態
と連続的な値をとります。この性質が「連続次元」とも言うべき性質です。具体的には、単位元以外の任意の元の共役類が無限集合になるような離散群(e.g. 無限対称群、非可換自由群)の左正則表現から生成されるvon Neumann環はすべてII
<作用素環論で課題となること>
作用素環論において最も基本的な問題は
というものです。この問題に関連して、同型と非同型を判定するための不変量を研究することが一つの課題になります。もちろん、すべての作用素環を完全分類するというのは現実的でありません。
実際、すべてのC
他の研究課題として、
も活発に行われています。数学的対象があったとき、その対称性を探りたいというのは自然なことだと思います。また、作用素環を用いた場の量子論や量子統計力学の研究からも、作用素環の対称性を研究することは大切な課題の一つであることがわかっています。
<他分野との関連>
上では作用素環論内部の課題に関してだけ言及しましたが、様々な分野の数学や物理学と関連して様々なことが研究されています。
Atiyah-Singerの指数定理の一般化等を含むConnesの非可換幾何学やJones多項式を起源とした量子不変量を通した低次元トポロジーとの関連は有名ですが、他にも作用素環の具体的な構成法を通して様々な分野と関連しています。特に、力学系のエルゴード理論とは、Murray-von Neumannによる群測度構成法以来、密接な関係があります。C
2. 私が研究してきたこと
作用素環論について大雑把に解説しましたが、具体的に私がどのようなことを勉強・研究してきたかについて簡単に説明したいと思います。学部生が主なターゲットだと思いますので、セミナー配属の話から始めたいと思います。
<修士まで>
私が在学していた大学では、3年生の後期からセミナーに配属されることになっていました。
私はその配属で、綿谷安男先生に師事しました。綿谷先生のもとで博士の学位を取ることになるのですが、今考えると、大阪との接点はこのときから始まったと思えます。(綿谷先生は大阪出身で数学の講演やセミナーも関西弁でされています。)
学部生のときのセミナーでは、関数解析学の本
を輪読しました。
大学院に入ってから、本格的に作用素環論を学んだのですが、セミナーで輪読した本は
です。
ちょうど私が大学院に進学したときに出版された本でいくつかの候補の中から深く考えずに選んだのですが、セミナー向けの本ではなく、辞書のような本で大変苦労しました。証明は省略されていることも多く、他の本で調べたり自分で考えたりする必要がありました。また、作用素環論で最も基本的なGNS構成法が出てくる前に(射影作用素よりも一般の)正作用素の比較理論やPedersenイデアルという作用素環論でも一部の研究者しか使わないような対象が出てくるなど、本当に辞書でした。ただし、(今になって考えると)自分で調べたり考えたりすることができてとても力がついた思います。また、正作用素の比較理論やPedersenイデアルは後の私の研究で大変役に立つ道具になったので、将来何が役に立つかはわからないものなんだなと実感しています。
C
等でC
修士論文は、無理数回転環の特別な部分環の性質と初等整数論の実2次体の関連を考えたというものです。これは小高氏による無理数回転環の部分環の研究をほんのちょっとだけ一般化しただけです。
<博士のとき>
博士課程に進学したのですが、これからの研究テーマに行き詰ってしまいました。そんなとき、綿谷先生から、「II
綿谷先生との共同研究が一段落した後、(単純) stably projectionless C
Stably projectionless C
私は基本群を単純 stably projectionless C
<ポスドクのとき>
2011年の3月に博士の学位を取得したのですが、どこにも就職することができないで予備校のチューター等のアルバイトをして生活することになりました。
九州で暮らしていたので直接被災したというわけではないのですが、東日本大震災もその頃に発生して何とも言えない不安を感じたことを覚えています。ただし、数学に関してはやるべき課題もあって順調に研究できていました。そういった生活を3ヵ月間してから、大変恵まれたことに、九州大学マス・フォア・インダストリ研究所のGCOE海外派遣研究員に採用してもらい、海外の大学・研究所に半年間滞在して研究させてもらえる機会を頂きました。
私は核型C
フィールズ研究所に長期滞在するともらえるマグカップ
フィールズ研究所滞在後は学振PDに採用され、千葉大学の松井宏樹先生のもとで研究が続けられることになりました。とても運がよかったことに、松井先生は佐藤氏との共同研究で核型C
ポスドク時代は部分的な結果しか得ることができませんでした。
<大阪教育大学および大阪大学で>
2014年4月に大阪教育大学の講師に採用されて、大阪に来ました。
大阪教育大学は伝統的に作用素環論の研究者が多く在籍しており、(定年退職された先生方も参加される)
作用素環セミナーが講義期間中は毎週開催されています。大阪教育大学在籍3年目
ことができました。この分類は超有限II
特に,
(教育大学の)雑務に追われて研究が滞った後の成果ということもあり、この結果を得たときはとても嬉しかったです。
2020年4月に大阪大学に着任しました。コロナ禍で日常が一変しましたが、 恵まれた研究環境で自分なりに
満足する研究成果をいくつか得ることができています。 特に、
Kirchberg-Phillips型吸収定理を得ることができました。
この定理は
3. 大学院進学を希望されている方へ
作用素環論は必要な知識が多く抽象的過ぎると言われることも多いですが、
私は魅力的な分野だと思っています。
上の説明ではあまり述べることができませんでしたが、他分野とも深く関連して発展しているので、自分の
興味に沿って勉強・研究していくこともできます。また、情報科学と少し関連する題材もあるようです。
例えば、(無限次元ではなく有限次元ですが) 行列解析を通した量子情報理論との関連などです。
作用素環論を広い意味で捉えて、意欲ある学生の方とセミナーなどを通して一緒に勉強・研究
していきたいと思っています。
略歴
- 2020年 大阪大学大学院 情報科学研究科 准教授
連絡先
- E-mail : nawata@ist.
- Tel : 吹5897 (06-6105-XXXX)
4ケタの電話番号は、大阪大学での内線番号です。
メールアドレスは、末尾の”osaka-u.ac.jp”が省略されていますので、送信前に”osaka-u.ac.jp”を付加してください。